Упр.248 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Через вершину С треугольника ABC проведена прямая, параллельная его биссектрисе АА1 и пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что AC = AD. Существует ли треугольник со сторонами: а) 1 м, 2 м и 3 м; б) 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм?

1) Проведём через точку $$C$$ прямую $$CD$$, параллельную биссектрисе $$AA_1$$, и рассмотрим секущую $$AC$$.

Тогда

$$\angle A_1AC=\angle ACD$$

как накрест лежащие при $$AA_1 \parallel CD$$.

2) Рассмотрим прямую $$AD$$ как секущую для параллельных прямых $$AA_1$$ и $$CD$$. Тогда

$$\angle BAA_1=\angle ADC$$

как соответственные углы.

Так как $$AA_1$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle BAA_1=\angle A_1AC.$$

Следовательно,

$$\angle ADC=\angle ACD.$$

Значит, треугольник $$ACD$$ равнобедренный, поэтому

$$AD=AC.$$

Это и требовалось доказать.

3) Проверим, существует ли треугольник с указанными сторонами, по неравенству треугольника: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей.

а) $$1\ \text{м},\ 2\ \text{м},\ 3\ \text{м}$$

$$1+2=3,$$

а должно быть строго больше. Значит, такой треугольник не существует.

б) $$1{,}2\ \text{дм},\ 1\ \text{дм},\ 2{,}4\ \text{дм}$$

$$1{,}2+1=2{,}2<2{,}4,$$

значит, такой треугольник тоже не существует.

Ответ

$$AC=AD.$$ Треугольник со сторонами: а) не существует; б) не существует.