Упр.248 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Через вершину $$C$$ треугольника $$ABC$$ проведена прямая, параллельная его биссектрисе $$AA_1$$ и пересекающая прямую $$AB$$ в точке $$D$$. Докажите, что $$AC=AD$$.
2. Задание учебника 2023 года. Существует ли треугольник со сторонами: а) $$1\ \text{м}$$, $$2\ \text{м}$$ и $$3\ \text{м}$$; б) $$1{,}2\ \text{дм}$$, $$1\ \text{дм}$$ и $$2{,}4\ \text{дм}$$?

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Пусть $$AA_1$$ — биссектриса угла $$A$$, а через точку $$C$$ проведена прямая $$CD$$, параллельная $$AA_1$$, причём точка $$D$$ лежит на прямой $$AB$$.

Тогда $$AC$$ — секущая к параллельным прямым $$AA_1$$ и $$CD$$, поэтому

$$\angle A_1AC=\angle ACD$$

как накрест лежащие.

Теперь рассмотрим прямую $$AD$$. Она также является секущей к параллельным прямым $$AA_1$$ и $$CD$$, значит

$$\angle BAA_1=\angle ADC$$

как соответственные.

Так как $$AA_1$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle BAA_1=\angle A_1AC.$$

Следовательно,

$$\angle ACD=\angle ADC.$$

Значит, треугольник $$ACD$$ равнобедренный, и его боковые стороны равны:

$$AC=AD.$$