Упр.247 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.
2. На рисунке 130 $$AB=AC$$, $$AP=AQ$$. Докажите, что:
   а) треугольник $$BOC$$ — равнобедренный;
   б) прямая $$OA$$ проходит через середину основания $$BC$$ и перпендикулярна к нему.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ биссектриса внешнего угла при вершине $$C$$ параллельна стороне $$AB$$. Обозначим эту биссектрису через $$CD$$, где $$D$$ лежит на продолжении стороны $$AC$$.

Рассмотрим прямые $$AB$$ и $$CD$$, пересечённые секущей $$CB$$. Тогда

$$\angle DCB=\angle CBA$$

как накрест лежащие углы при параллельных прямых.

Теперь рассмотрим прямые $$AB$$ и $$CD$$, пересечённые секущей $$CA$$. Получаем

$$\angle BAC=\angle ECD$$

как соответственные углы.

Так как $$CD$$ — биссектриса внешнего угла, то

$$\angle DCB=\angle ECD.$$

Следовательно,

$$\angle CBA=\angle BAC.$$

Значит, в треугольнике $$ABC$$ равны углы при основании, а потому он равнобедренный:

$$AC=BC.$$

Итак, треугольник $$ABC$$ равнобедренный, что и требовалось доказать.

Ответ

Если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.