Упр.246 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника $$ABC$$, пересекает боковые стороны $$AB$$ и $$AC$$ в точках $$M$$ и $$N$$. Докажите, что треугольник $$AMN$$ равнобедренный.
2. На рисунке 129 лучи $$BO$$ и $$CO$$ — биссектрисы углов $$B$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$, $$OE \parallel AB$$, $$OD \parallel AC$$. Докажите, что периметр треугольника $$EDO$$ равен длине отрезка $$BC$$.

Рассмотрим сначала первый рисунок. Пусть $$a \parallel CB$$, $$N \in AC$$, $$M \in AB$$.

Тогда при секущей $$CN$$ получаем равенство соответственных углов:

$$\angle ANM=\angle NCB.$$

При секущей $$BM$$ имеем:

$$\angle AMN=\angle MBC.$$

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$AB=AC$$, следовательно, его углы при основании равны:

$$\angle B=\angle C.$$

Но $$\angle ANM=\angle C$$, а $$\angle AMN=\angle B$$, значит

$$\angle ANM=\angle AMN.$$

Следовательно, в треугольнике $$AMN$$ равны углы при основании, значит он равнобедренный:

$$AM=AN.$$

Рассмотрим второй рисунок. Лучи $$BO$$ и $$CO$$ — биссектрисы углов $$B$$ и $$C$$, причём $$OE \parallel AB$$, $$OD \parallel AC$$.

Из параллельности $$OE \parallel AB$$ и секущей $$BO$$ получаем:

$$\angle ABO=\angle BOE.$$

Так как $$BO$$ — биссектриса угла $$B$$, то

$$\angle ABO=\angle OBC.$$

Следовательно,

$$\angle BOE=\angle OBE,$$

значит, $$\triangle BOE$$ равнобедренный и

$$BE=EO.$$

Аналогично, из $$OD \parallel AC$$ и того, что $$CO$$ — биссектриса угла $$C$$, получаем:

$$\angle OCD=\angle CDO,$$

значит, $$\triangle COD$$ равнобедренный и

$$DC=DO.$$

Теперь найдём периметр треугольника $$EDO$$:

$$P_{EDO}=ED+DO+OE.$$

Подставим $$DO=DC$$ и $$OE=BE$$:

$$P_{EDO}=ED+DC+BE.$$

Но

$$BC=BE+ED+DC,$$

следовательно,

$$P_{EDO}=BC.$$

Ответ

$$AM=AN.$$ В другом задании: $$P_{EDO}=BC.$$