Упр.245 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что треугольник $$AOC$$ — равнобедренный.
- Задание учебника 2023 года. Через точку пересечения биссектрис $$BB_1$$ и $$CC_1$$ треугольника $$ABC$$ проведена прямая, параллельная прямой $$BC$$ и пересекающая стороны $$AB$$ и $$AC$$ соответственно в точках $$M$$ и $$N$$. Докажите, что $$MN = BM + CN$$.
Рассмотрим точку $$O$$ — пересечение биссектрис углов $$B$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$. Через точку $$O$$ проведена прямая $$MN$$, параллельная $$BC$$, где $$M \in AB$$, $$N \in AC$$.
Докажем, что $$MN=BM+CN$$.
Так как $$MN \parallel BC$$, то
$$\angle NOC=\angle OCB$$
как накрест лежащие углы при секущей $$OC$$.
Поскольку $$CC_1$$ — биссектриса угла $$C$$, имеем
$$\angle NCO=\angle OCB$$.
Следовательно,
$$\angle NCO=\angle NOC,$$
значит, треугольник $$CNO$$ равнобедренный, и потому
$$CN=NO.$$
Аналогично, из параллельности $$MN \parallel BC$$ получаем
$$\angle MOB=\angle OBC$$
как накрест лежащие углы при секущей $$BO$$.
Так как $$BB_1$$ — биссектриса угла $$B$$, то
$$\angle MBO=\angle OBC.$$
Значит,
$$\angle MOB=\angle MBO,$$
поэтому треугольник $$OMB$$ равнобедренный, и
$$OM=MB.$$
Так как точки $$N, O, M$$ лежат на одной прямой, то
$$MN=NO+OM.$$
Подставляя найденные равенства, получаем
$$MN=CN+BM.$$
Что и требовалось доказать.
