Упр.244 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.
2. Отрезок $$AD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$. Через точку $$D$$ проведена прямая, параллельная $$AC$$ и пересекающая сторону $$AB$$ в точке $$E$$. Докажите, что треугольник $$ADE$$ — равнобедренный.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Пусть $$BK$$ — высота, а $$BD$$ — медиана, проведённые из вершины $$B$$ к стороне $$AC$$.

Треугольник $$BKC$$ прямоугольный, поэтому в нём гипотенуза $$BC$$ больше любого катета. Значит,

$$BK<BC.$$

Аналогично в треугольнике $$BKA$$ имеем

$$BK<BA.$$

Так как $$D$$ — середина стороны $$AC$$, то $$AD=DC$$. Рассмотрим два случая.

• Если треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то медиана $$BD$$ к основанию является также высотой, и тогда $$BD=BK$$.
• Если треугольник $$ABC$$ неравнобедренный, то медиана $$BD$$ лежит между сторонами $$BA$$ и $$BC$$ и не может быть короче высоты, опущенной из той же вершины. Следовательно, $$BD\ge BK$$.

Итак, в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины:

$$BD\ge BK.$$