Упр.243 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.
Через вершину $$C$$ треугольника $$ABC$$ проведена прямая, параллельная его биссектрисе $$AA_1$$ и пересекающая прямую $$AB$$ в точке $$D$$. Докажите, что $$AC = AD$$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$, в котором $$AA_1$$ — биссектриса угла $$A$$, а через точку $$C$$ проведена прямая $$CD$$, параллельная $$AA_1$$, причём $$D \in AB$$.

Докажем, что $$AC=AD$$.

Так как $$AA_1 \parallel CD$$, а $$AC$$ — секущая, то

$$\angle A_1AC=\angle ACD$$

как накрест лежащие углы.

Кроме того, поскольку $$AA_1 \parallel CD$$, а $$AD$$ — секущая, получаем

$$\angle BAA_1=\angle ADC$$

как соответственные углы.

Но $$AA_1$$ — биссектриса угла $$A$$, значит

$$\angle BAA_1=\angle A_1AC.$$

Следовательно,

$$\angle ACD=\angle ADC.$$

Значит, треугольник $$ACD$$ равнобедренный, и его боковые стороны равны: