Упр.242 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Сравните стороны треугольника ABC, если: а) угол А > угол B > угол C; б) угол A>угол B = угол C. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.

а) В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против меньшего угла — меньшая.

Так как $$\angle A > \angle B > \angle C,$$ то

$$BC > AC > AB.$$

б) Если $$\angle A > \angle B = \angle C,$$ то против равных углов лежат равные стороны, значит

$$AB = AC.$$

А так как $$\angle A$$ больше, чем $$\angle B$$ и $$\angle C,$$ то против него лежит наибольшая сторона:

$$BC > AB = AC.$$

Доказательство. Пусть $$CD$$ — биссектриса внешнего угла $$\angle BCE$$ треугольника $$ABC$$, причём $$CD \parallel AB.$$

Тогда при секущей $$BC$$ получаем равенство накрест лежащих углов:

$$\angle DCB = \angle CBA.$$

Так как $$CD$$ — биссектриса внешнего угла $$\angle BCE,$$ то

$$\angle DCB = \angle DCE.$$

Из параллельности $$CD \parallel AB$$ и секущей $$AC$$ имеем равенство соответственных углов:

$$\angle DCE = \angle CAB.$$

Следовательно,

$$\angle CBA = \angle CAB.$$

Значит, в треугольнике $$ABC$$ равны углы при основании, поэтому

$$AC = BC.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Ответ

а) $$BC > AC > AB.$$

б) $$BC > AB = AC.$$

Если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна его стороне, то треугольник равнобедренный.