Упр.240 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если угол ADB = 110°. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС — равнобедренный.
1) Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$\angle A=\angle C$$.
2) Точка $$D$$ лежит на стороне $$BC$$, поэтому углы $$\angle BDA$$ и $$\angle ADC$$ смежные:
$$\angle BDA+\angle ADC=180^\circ.$$
Отсюда
$$\angle ADC=180^\circ-110^\circ=70^\circ.$$
3) Пусть $$\angle BAD=\angle DAC=x$$, так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$. Тогда
$$\angle A=2x.$$
4) В треугольнике $$ADC$$ сумма углов равна $$180^\circ$$:
$$\angle DAC+\angle ADC+\angle DCA=180^\circ.$$
Так как $$D\in BC$$, то $$\angle DCA=\angle C$$. Значит,
$$x+70^\circ+\angle C=180^\circ.$$
Но $$\angle C=\angle A=2x$$, поэтому
$$x+70^\circ+2x=180^\circ,$$
$$3x=110^\circ,$$
$$x=\frac{110^\circ}{3}=36^\circ40′.$$
Тогда
$$\angle A=2x=73^\circ20′,$$
$$\angle C=73^\circ20′,$$
$$\angle B=180^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ-146^\circ40’=33^\circ20′.$$
5) Во втором пункте: пусть $$\angle BAO=\angle OAC$$ и $$\angle BCO=\angle OCA$$, так как $$AO$$ и $$OC$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$.
Поскольку $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$\angle A=\angle C$$. Следовательно, их половины равны:
$$\angle OAC=\angle OCA.$$
Значит, в треугольнике $$AOC$$ равны углы при основании, поэтому $$\triangle AOC$$ равнобедренный.
Ответ
$$\angle A=\angle C=73^\circ20′,\quad \angle B=33^\circ20′.$$
$$\triangle AOC$$ равнобедренный.
