Упр.240 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведена биссектриса $$AD$$. Найдите углы этого треугольника, если $$\angle ADB=110^\circ$$.
- В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что треугольник $$AOC$$ — равнобедренный.
Пусть $$\angle BAD=\angle DAC=x$$, так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$. Тогда $$\angle A=2x$$.
Точки $$B, D, C$$ лежат на одной прямой, поэтому смежные углы $$\angle ADB$$ и $$\angle ADC$$ в сумме дают $$180^\circ$$:
$$\angle ADC=180^\circ-110^\circ=70^\circ.$$
Рассмотрим треугольник $$ADC$$. В нём:
$$\angle DAC+\angle ADC+\angle DCA=180^\circ.$$
Подставим:
$$x+70^\circ+\angle DCA=180^\circ,$$
откуда
$$\angle DCA=110^\circ-x.$$
Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$AB=BC$$ и, следовательно, $$\angle A=\angle C$$. Значит,
$$2x=\angle C.$$
Но угол $$C$$ треугольника $$ABC$$ равен углу $$DCA$$, так как точки $$B, D, C$$ лежат на одной прямой. Поэтому
$$2x=110^\circ-x.$$
Тогда
$$3x=110^\circ,\qquad x=\frac{110^\circ}{3}=36^\circ40′.$$
Следовательно,
$$\angle A=2x=73^\circ20′.$$
Так как $$\angle A=\angle C$$, то
$$\angle C=73^\circ20′.$$
Найдём угол $$B$$:
$$\angle B=180^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ-73^\circ20′-73^\circ20’=33^\circ20′.$$
Ответ
$$\angle A=\angle C=73^\circ20′,\quad \angle B=33^\circ20′.$$
