Упр.238 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию. Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.

Подробный ответ

1) Докажем, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

Пусть $$\triangle ABC$$ равнобедренный, $$AB=BC$$, а $$BD$$ — биссектриса внешнего угла $$\angle CBK$$ при вершине $$B$$, где $$BK$$ — продолжение стороны $$BA$$.

Тогда в равнобедренном треугольнике $$\angle A=\angle C$$.

Внешний угол при вершине равен сумме двух внутренних несмежных углов, значит

$$\angle CBK=\angle A+\angle C=2\angle A.$$

Так как $$BD$$ — биссектриса угла $$\angle CBK$$, то

$$\angle KBD=\angle DBC=\angle A.$$

Но $$\angle KBD$$ и $$\angle A$$ — соответственные углы при секущей $$AB$$ и прямых $$BD$$ и $$AC$$. Следовательно,

$$BD \parallel AC.$$

2) Докажем, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.

Пусть $$D$$ — любая точка основания $$AC$$, отличная от $$A$$ и $$C$$. Нужно доказать, что $$BD<AB$$.

Рассмотрим углы $$\angle ADB$$ и $$\angle BDC$$. Они смежные, поэтому один из них тупой, а другой острый, либо один из них прямой.

Предположим, что $$\angle ADB$$ — тупой. Тогда в треугольнике $$ABD$$ тупой угол лежит против большей стороны, значит

$$AB>BD.$$

Предположим, что $$\angle BDC$$ — тупой. Тогда в треугольнике $$BDC$$ получаем

$$BC>BD.$$

Но $$AB=BC$$, значит и в этом случае

$$AB>BD.$$

Если же $$\angle ADB=90^\circ$$ или $$\angle BDC=90^\circ$$, то соответствующий треугольник прямоугольный, и гипотенуза больше катета. Следовательно, снова

$$AB>BD.$$

Итак, во всех случаях

$$BD<AB.$$