Упр.236 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. Сравните углы треугольника ABC и выясните, может ли быть угол А тупым, если: а) АВ > ВС > АС; б) АВ = АС<ВС.

Подробный ответ

Пусть $$M$$ — середина стороны $$BC$$. Тогда из условия $$AM=\frac12 BC$$ получаем $$AM=BM=MC$$, так как $$BM=MC=\frac12 BC$$.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$ACM$$. В них:

$$AM=BM$$, значит $$\triangle ABM$$ равнобедренный, поэтому $$\angle BAM=\angle ABM$$;
$$AM=MC$$, значит $$\triangle ACM$$ равнобедренный, поэтому $$\angle MAC=\angle ACM$$.

Обозначим $$\angle BAM=x$$, $$\angle MAC=y$$. Тогда

$$\angle B=\angle ABM=x,\qquad \angle C=\angle ACM=y.$$

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

Но $$\angle A=\angle BAM+\angle MAC=x+y$$, поэтому

$$x+y+x+y=180^\circ,$$

откуда

$$2x+2y=180^\circ,\qquad x+y=90^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle A=\angle BAM+\angle MAC=90^\circ.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ прямоугольный.

а) Если $$AB>BC>AC$$, то большей стороне $$AB$$ противолежит больший угол $$\angle C$$, а меньшей стороне $$AC$$ — меньший угол $$\angle B$$. Поэтому

$$\angle C>\angle A>\angle B.$$

Если бы $$\angle A$$ был тупым, то в треугольнике был бы ещё один угол больше $$90^\circ$$, что невозможно. Значит, $$\angle A$$ не может быть тупым.

б) Если $$AB=AC<BC$$, то $$\triangle ABC$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle B=\angle C.$$

Так как $$BC$$ — наибольшая сторона, то против неё лежит наибольший угол $$\angle A$$. Он может быть тупым, поскольку равные углы $$\angle B$$ и $$\angle C$$ тогда будут острыми.