Упр.231 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что:
а) углы при основании равнобедренного треугольника острые;
б) внешние углы при основании равнобедренного треугольника тупые. - Медиана $$AM$$ треугольника $$ABC$$ равна половине стороны $$BC$$. Докажите, что треугольник $$ABC$$ прямоугольный.
Построим высоту $$BH$$ треугольника $$ABC$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CBH$$. У них:
- $$BH$$ — общий катет;
- $$\angle BHA=\angle BHC=90^\circ$$;
- $$AB=BC$$ по условию.
Следовательно, $$\triangle ABH \cong \triangle CBH$$ по гипотенузе и катету. Значит, $$\angle BAH=\angle HCB$$, то есть углы при основании равнобедренного треугольника равны: $$\angle A=\angle C$$.
Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, поэтому
$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$
Так как $$\angle A=\angle C$$, получаем
$$2\angle A=180^\circ-\angle B,$$
откуда
$$\angle A=90^\circ-\frac{\angle B}{2}.$$
Поскольку $$\angle B>0^\circ$$, то $$\angle A<90^\circ$$. Значит, угол при основании равнобедренного треугольника острый.
Теперь рассмотрим внешний угол $$\angle DAB$$. Он смежный с углом $$\angle BAH$$, поэтому
$$\angle DAB+\angle BAH=180^\circ.$$
Так как $$\angle BAH=\angle A<90^\circ$$, то
$$\angle DAB=180^\circ-\angle BAH>90^\circ.$$
Следовательно, внешний угол при основании равнобедренного треугольника тупой.
