Упр.226 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны треугольник $$ABC$$ и точки $$M$$ и $$N$$ такие, что середина отрезка $$BM$$ совпадает с серединой стороны $$AC$$, а середина отрезка $$CN$$ — с серединой стороны $$AB$$. Докажите, что точки $$M$$, $$N$$ и $$A$$ лежат на одной прямой.
- Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника острые.
Пусть $$E$$ — середина отрезка $$BM$$, а $$F$$ — середина отрезка $$CN$$. По условию $$E$$ также является серединой стороны $$AC$$, а $$F$$ — серединой стороны $$AB$$.
Рассмотрим треугольники $$CBF$$ и $$FNA$$. Имеем:
- $$BF=FA$$;
- $$CF=FN$$;
- $$\angle BFC=\angle NFA$$ как вертикальные.
Следовательно, $$\triangle CBF \cong \triangle FNA$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда
$$\angle BCF=\angle FNA,\qquad \angle CBF=\angle FAN.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$AME$$ и $$BEC$$. Имеем:
- $$BE=EM$$;
- $$CE=EA$$;
- $$\angle BEC=\angle AEM$$ как вертикальные.
Значит, $$\triangle AME \cong \triangle BEC$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$\angle BCE=\angle EAM,\qquad \angle CBE=\angle EMA.$$
Так как точки $$B, E, C$$ лежат на одной прямой, а точки $$C, F, N$$ — на одной прямой, то углы $$\angle BCF$$ и $$\angle FNA$$ являются накрест лежащими при прямых $$BC$$ и $$AN$$ и секущей $$CN$$. Поэтому
$$BC \parallel AN.$$
Аналогично, углы $$\angle CBE$$ и $$\angle EMA$$ являются накрест лежащими при прямых $$BC$$ и $$AM$$ и секущей $$BM$$. Следовательно,
$$BC \parallel AM.$$
Через точку $$A$$ проходит только одна прямая, параллельная прямой $$BC$$, значит, прямые $$AM$$ и $$AN$$ совпадают. Следовательно, точки $$A$$, $$M$$ и $$N$$ лежат на одной прямой.
