Упр.222 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны прямой $$c$$. Докажите, что любая прямая, пересекающая прямую $$a$$, пересекает также и прямую $$b$$.
2. Даны прямая $$a$$ и точка $$A$$, не лежащая на ней. С помощью циркуля и линейки через точку $$A$$ проведите прямую, параллельную прямой $$a$$.

Пусть дана прямая $$a$$ и точка $$A$$, не лежащая на ней.

Построим через точку $$A$$ прямую, параллельную прямой $$a$$.

1. Из точки $$A$$ опишем окружность произвольного радиуса, пересекающую прямую $$a$$ в точках $$O_1$$ и $$O_2$$.
2. С центрами в точках $$O_1$$ и $$O_2$$ и тем же радиусом проведём окружности. Они пересекут первую окружность в точках $$A_1$$ и $$A_2$$.
3. Проведём прямую $$A_1A_2$$.

Докажем, что $$A_1A_2 \parallel a$$.

Так как $$O_1A_1=O_1A$$ и $$O_2A_2=O_2A$$, а также $$AO_1=AO_2$$ как радиусы первой окружности, то точки $$A_1$$ и $$A_2$$ расположены симметрично относительно прямой, проходящей через $$A$$ и середину отрезка $$O_1O_2$$. Следовательно, прямая $$A_1A_2$$ перпендикулярна биссектрисе угла между равными хордами и проходит через точку $$A$$.

Кроме того, точки $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на прямой $$a$$, значит, прямая $$A_1A_2$$ проходит через точку $$A$$ и имеет направление, параллельное прямой $$a$$. Поэтому $$A_1A_2 \parallel a$$.

Итак, через точку $$A$$ построена прямая, параллельная прямой $$a$$.