Упр.221 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На рисунке 124 $$DE$$ — биссектриса угла $$ADF$$. По данным рисунка найдите углы треугольника $$ADE$$.
- Даны треугольник $$ABC$$ и точки $$M$$ и $$N$$ такие, что середина отрезка $$BM$$ совпадает с серединой стороны $$AC$$, а середина отрезка $$CN$$ — с серединой стороны $$AB$$. Докажите, что точки $$M$$, $$N$$ и $$A$$ лежат на одной прямой.
Рассмотрим треугольник $$ADE$$.
Так как точки $$M, A, E$$ лежат на одной прямой, а точки $$N, D, F$$ — на одной прямой, то из рисунка получаем, что прямые $$ME$$ и $$NF$$ параллельны. Тогда при секущей $$AC$$
$$\angle MAC+\angle NCA=78^\circ+102^\circ=180^\circ,$$
значит, $$ME \parallel NF$$.
Теперь рассмотрим углы при точке $$D$$. Смежные углы дают
$$\angle ADE+\angle EDF+\angle ADC=180^\circ.$$
По рисунку $$\angle ADC=48^\circ$$, значит
$$\angle ADF=180^\circ-48^\circ=132^\circ.$$
Так как $$DE$$ — биссектриса угла $$ADF$$, то
$$\angle ADE=\angle EDF=\frac{\angle ADF}{2}=\frac{132^\circ}{2}=66^\circ.$$
Угол $$\angle EAD$$ равен углу $$\angle ADC$$ как накрест лежащий при параллельных прямых $$ME \parallel NF$$, поэтому
$$\angle EAD=48^\circ.$$
Тогда третий угол треугольника $$ADE$$ равен
$$\angle AED=180^\circ-48^\circ-66^\circ=66^\circ.$$
Ответ: $$\angle DAE=48^\circ,\ \angle AED=66^\circ,\ \angle ADE=66^\circ.$$
