Упр.219 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника ABC и перпендикулярная к AD, пересекает сторону АС в точке М. Докажите, что MD || АВ Даны две прямые а и b. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает и прямую b, то прямые а и b параллельны.

Подробный ответ

Предположим, что прямые $$a$$ и $$b$$ не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке $$P$$.

Возьмём прямую $$c$$, проходящую через точку $$P$$. Тогда она пересекает прямую $$a$$ в точке $$P$$ и прямую $$b$$ тоже в точке $$P$$.

Но по условию любая прямая, пересекающая $$a$$, пересекает и $$b$$. Значит, если бы $$a$$ и $$b$$ пересекались, то через их общую точку проходила бы прямая $$c$$, которая пересекает обе прямые. Это не даёт противоречия.

Рассмотрим теперь прямую $$c$$, пересекающую $$a$$. По условию она обязательно пересекает и $$b$$. Следовательно, не существует прямой, которая пересекала бы $$a$$ и была бы параллельна $$b$$. А если бы $$a$$ и $$b$$ не были параллельны, то через любую точку прямой $$a$$ можно было бы провести прямую, параллельную $$b$$, и она пересекала бы $$a$$, но не пересекала бы $$b$$. Это противоречит условию.

Значит, прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны.