Упр.216 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
- На рисунке 124 $$DE$$ — биссектриса угла $$ADF$$. По данным рисунка найдите углы треугольника $$ADE$$.
а) Пусть две параллельные прямые $$a$$ и $$b$$ пересечены секущей $$c$$. Обозначим биссектрисы накрест лежащих углов через $$AA_1$$ и $$BB_1$$.
Так как $$a \parallel b$$, то накрест лежащие углы равны:
$$\angle A=\angle B.$$
Поскольку $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, получаем:
$$\angle 1=\angle 2,\qquad \angle 3=\angle 4.$$
Но $$\angle 2$$ и $$\angle 3$$ — накрест лежащие углы при секущей $$c$$, значит
$$\angle 2=\angle 3.$$
Следовательно, $$\angle 1=\angle 4$$, а это означает, что прямые $$AA_1$$ и $$BB_1$$ параллельны:
$$AA_1 \parallel BB_1.$$
б) Пусть теперь $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы односторонних углов при параллельных прямых $$a$$ и $$b$$ и секущей $$c$$.
Односторонние углы supplementary, то есть
$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$
Так как $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, то
$$\angle 1=\frac{\angle A}{2},\qquad \angle 3=\frac{\angle B}{2}.$$
Рассмотрим угол между биссектрисами. Он равен сумме половин данных углов:
$$\angle 1+\angle 3=\frac{\angle A+\angle B}{2}=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ.$$
Значит, биссектрисы образуют прямой угол, то есть
$$AA_1 \perp BB_1.$$
Ответ
а) $$AA_1 \parallel BB_1$$; б) $$AA_1 \perp BB_1$$.
