Упр.214 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На рисунке 120 а || b, с || d, угол 4=45°. Найдите углы 1, 2 и 3. Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника ABC и перпендикулярная к AD, пересекает сторону АС в точке М. Докажите, что MD || АВ

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$\triangle MAE$$ и $$\triangle KAE$$. Они прямоугольные, так как $$AE \perp MK$$.

По условию $$AE$$ — общая сторона, а $$\angle MAE = \angle EAK$$, так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$. Значит, $$\triangle MAE \cong \triangle KAE$$ по катету и острому углу.

Отсюда $$\angle AME = \angle AKE$$ как соответствующие углы равных треугольников.

Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle MDE$$ и $$\triangle MAE$$. Они прямоугольные, так как $$ME \perp AD$$, а значит $$\angle MED = 90^\circ$$ и $$\angle AEM = 90^\circ$$.

Кроме того, $$ME$$ — общая сторона, $$AE = ED$$ по условию. Следовательно, $$\triangle MDE \cong \triangle MAE$$ по двум катетам.

Тогда $$\angle EMD = \angle AME$$.

Но точки $$A, K, B$$ лежат на одной прямой, а $$M, K, E$$ — на одной прямой, поэтому углы $$\angle AKE$$ и $$\angle EMD$$ — накрест лежащие при секущей $$MK$$. Так как они равны, то $$MD \parallel AB$$.