Упр.213 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°. Найдите эти углы. На рисунке 122 CE = ED, BE = EF и КЕ || AD. Докажите, что КЕ || ВС.

1) Пусть искомые односторонние углы равны $$x$$ и $$y$$. Тогда по свойству односторонних углов при параллельных прямых

$$x+y=180^\circ.$$

По условию их разность равна $$50^\circ$$, значит

$$x-y=50^\circ.$$

Сложим уравнения:

$$ \begin{aligned} x+y&=180^\circ,\\ x-y&=50^\circ. \end{aligned} $$

Получаем

$$2x=230^\circ,\quad x=115^\circ.$$

Тогда

$$y=180^\circ-115^\circ=65^\circ.$$

2) Рассмотрим треугольники $$BCE$$ и $$DEF$$.

Так как $$BE=EF$$, $$CE=ED$$, а $$\angle CEB=\angle FED$$ как вертикальные, то

$$\triangle BCE \cong \triangle DEF$$

по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, соответствующие углы равны:

$$\angle CBE=\angle DFE.$$

Но точки $$B, E, F$$ лежат на одной прямой, значит это накрест лежащие углы при секущей $$BF$$ и прямых $$BC$$ и $$AD$$. Поэтому

$$BC \parallel AD.$$

По условию $$KE \parallel AD$$, значит две прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой:

$$KE \parallel BC.$$

Ответ

$$115^\circ$$ и $$65^\circ$$; $$KE \parallel BC.$$