Упр.212 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Ответьте на вопросы задачи 206, если $$\angle ABC=65^\circ$$, а $$\angle BCD=105^\circ$$.
2. Прямые, содержащие высоты $$AA_1$$ и $$BB_1$$ треугольника $$ABC$$, пересекаются в точке $$H$$, угол $$B$$ — тупой, $$\angle C=20^\circ$$. Найдите $$\angle AHB$$.

Так как $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — высоты треугольника $$ABC$$, то

$$AA_1 \perp BC,\qquad BB_1 \perp AC.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BB_1C$$. В нём $$\angle BB_1C=90^\circ$$, а $$\angle BCB_1=\angle C=20^\circ$$, значит

$$\angle B_1BC=90^\circ-20^\circ=70^\circ.$$

Углы $$\angle B_1BC$$ и $$\angle A_1BH$$ — вертикальные, поэтому

$$\angle A_1BH=70^\circ.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$A_1HB$$. Так как $$AA_1 \perp BC$$, а точка $$H$$ лежит на прямой $$AA_1$$, то $$A_1H \perp A_1B$$, следовательно, треугольник $$A_1HB$$ прямоугольный. Тогда

$$\angle AHB=90^\circ-\angle A_1BH=90^\circ-70^\circ=20^\circ.$$

Ответ: $$20^\circ$$.