Упр.211 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. $$\angle ABC=70^\circ$$, а $$\angle BCD=110^\circ$$. Могут ли прямые $$AB$$ и $$CD$$ быть: а) параллельными; б) пересекающимися?
2. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

Пусть две параллельные прямые $$a$$ и $$b$$ пересечены секущей $$c$$. Обозначим накрест лежащие углы через $$\angle 1$$ и $$\angle 2$$, а односторонние — через $$\angle A$$ и $$\angle B$$.

а) Биссектрисы накрест лежащих углов параллельны

Так как $$a \parallel b$$, то накрест лежащие углы равны:

$$\angle 1=\angle 2.$$

Пусть $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы этих углов. Тогда

$$\angle 1_1=\frac{1}{2}\angle 1,\qquad \angle 2_1=\frac{1}{2}\angle 2.$$

Из равенства $$\angle 1=\angle 2$$ следует, что

$$\angle 1_1=\angle 2_1.$$

Эти углы являются накрест лежащими при прямых $$AA_1$$ и $$BB_1$$ и секущей $$c$$, значит, $$AA_1 \parallel BB_1$$.

б) Биссектрисы односторонних углов перпендикулярны

Для односторонних углов при параллельных прямых имеем:

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Пусть $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы этих углов. Тогда в треугольнике, образованном биссектрисами и секущей, получаем:

$$\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B=90^\circ.$$

Следовательно, угол между биссектрисами равен $$90^\circ$$, то есть

$$AA_1 \perp BB_1.$$

Ответ

а) $$AA_1 \parallel BB_1$$; б) $$AA_1 \perp BB_1$$.