Упр.191 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На рисунке 106 прямые $$a$$ и $$b$$ пересечены прямой $$c$$. Докажите, что $$a \parallel b$$, если:
а) $$\angle 1=37^\circ$$, $$\angle 7=143^\circ$$;
б) $$\angle 1=\angle 6$$;
в) $$\angle 1=45^\circ$$, а $$\angle 7$$ в три раза больше $$\angle 3$$. - Отрезок $$\text{ВК}$$ — биссектриса треугольника $$\text{ABC}$$. Через точку $$\text{К}$$ проведена прямая, пересекающая сторону $$\text{ВС}$$ в точке $$\text{М}$$ так, что $$\text{ВМ}=\text{МК}$$. Докажите, что прямые $$\text{КМ}$$ и $$\text{АВ}$$ параллельны.
а) Если $$\angle 1=37^\circ$$ и $$\angle 7=143^\circ$$, то
$$\angle 1+\angle 7=37^\circ+143^\circ=180^\circ.$$
Односторонние углы при пересечении прямых $$a$$ и $$b$$ секущей $$c$$ в сумме дают $$180^\circ$$, значит, по признаку параллельности прямых
$$a \parallel b.$$
б) Если $$\angle 1=\angle 6$$, то $$\angle 1$$ и $$\angle 6$$ — накрест лежащие углы при прямых $$a$$ и $$b$$ и секущей $$c$$. Следовательно, по признаку параллельности прямых
$$a \parallel b.$$
в) По условию $$\angle 1=45^\circ$$, а $$\angle 7$$ в три раза больше угла $$3$$.
Углы $$1$$ и $$3$$ — вертикальные, значит,
$$\angle 3=\angle 1=45^\circ.$$
Тогда
$$\angle 7=3\cdot 45^\circ=135^\circ.$$
Получаем:
$$\angle 1+\angle 7=45^\circ+135^\circ=180^\circ.$$
Следовательно, по признаку параллельности прямых
$$a \parallel b.$$
Готово.
Ход решения
1) Так как по условию $$BM=MK$$, то $$\triangle BMK$$ равнобедренный. Значит, его углы при основании равны:
$$\angle BKM=\angle MKB.$$
2) Поскольку $$BK$$ — биссектриса угла $$ABC$$, имеем
$$\angle ABK=\angle KBC.$$
Точка $$M$$ лежит на прямой $$BC$$, поэтому луч $$BM$$ совпадает с лучом $$BC$$, а значит
$$\angle KMB=\angle MKB.$$
Из пунктов 1 и 2 получаем:
$$\angle ABK=\angle MKB.$$
3) Углы $$\angle ABK$$ и $$\angle MKB$$ — накрест лежащие при прямых $$AB$$ и $$KM$$ и секущей $$BK$$. Следовательно,
$$AB \parallel KM.$$
Ответ: $$KM \parallel AB.$$
