Упр.184 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На боковых сторонах $$AB$$ и $$AC$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ отмечены точки $$P$$ и $$Q$$ так, что $$\angle PXB=\angle QXC$$, где $$X$$ — середина основания $$BC$$. Докажите, что $$BQ=CP$$.
2. На стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$ постройте точку, равноудалённую от вершин $$A$$ и $$C$$.

Пусть точка $$D$$ — искомая точка на стороне $$BC$$, для которой $$AD=DC$$.

Тогда точка $$D$$ должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $$AC$$, так как все точки этого перпендикуляра равноудалены от $$A$$ и $$C$$.

Построим серединный перпендикуляр к $$AC$$:

1. Из точек $$A$$ и $$C$$ проведём окружности одинакового радиуса $$r=\frac12 AC$$.
2. Пусть точки их пересечения — $$E$$ и $$N$$.
3. Прямая $$EN$$ и есть серединный перпендикуляр к $$AC$$.
4. Искомая точка $$D$$ — точка пересечения прямой $$EN$$ с отрезком $$BC$$.

Если прямая $$EN$$ пересекает $$BC$$, то полученная точка $$D$$ удовлетворяет условию $$AD=DC$$. Если же $$EN$$ не пересекает $$BC$$, то на стороне $$BC$$ такой точки не существует.

Ответ

Построить серединный перпендикуляр к $$AC$$ и взять точку его пересечения с $$BC$$; если пересечения нет, то задача не имеет решения.