Упр.183 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны три точки $$A$$, $$B$$, $$C$$, лежащие на одной прямой, и точка $$D$$, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трёх отрезков $$AD$$, $$BD$$ и $$CD$$ не равны друг другу.
2. Даны окружность, точки $$A$$, $$B$$ и отрезок $$PQ$$. Постройте треугольник $$ABC$$ так, чтобы вершина $$C$$ лежала на данной окружности и $$AC=PQ$$.

Пусть бы оказалось, что $$AD=BD=CD.$$ Тогда треугольники $$\triangle ADB,$$ $$\triangle BDC$$ и $$\triangle ADC$$ равнобедренные. Значит,

$$\angle 1=\angle 2,\qquad \angle 3=\angle 4,\qquad \angle 1=\angle 4.$$

Отсюда следует, что $$\angle 2=\angle 3.$$ Но углы $$\angle 2$$ и $$\angle 3$$ — смежные, поэтому

$$\angle 2+\angle 3=180^\circ.$$

Так как $$\angle 2=\angle 3,$$ то

$$\angle 2=\angle 3=90^\circ.$$

Тогда и $$\angle 1=\angle 2=90^\circ,$$ $$\angle 4=\angle 3=90^\circ.$$ Получается, что через точку $$D,$$ не лежащую на прямой $$a,$$ можно провести к этой прямой два перпендикуляра. Это невозможно, так как через одну точку вне прямой проходит только один перпендикуляр к данной прямой.

Следовательно, предположение неверно. Значит, по крайней мере два из отрезков $$AD,$$ $$BD,$$ $$CD$$ не равны друг другу.