Упр.182 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Даны два треугольника: $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. Известно, что $$AB=A_1B_1$$, $$AC=A_1C_1$$, $$\angle A=\angle A_1$$. На сторонах $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ взяты соответственно точки $$K$$ и $$L$$, а на сторонах $$A_1C_1$$ и $$B_1C_1$$ треугольника $$A_1B_1C_1$$ — точки $$K_1$$ и $$L_1$$ так, что $$AK=A_1K_1$$, $$LC=L_1C_1$$. Докажите, что:
а) $$KL=K_1L_1$$;
б) $$AL=A_1L_1$$.
Даны прямая $$a$$, точки $$A$$, $$B$$ и отрезок $$PQ$$. Постройте треугольник $$ABC$$ так, чтобы вершина $$C$$ лежала на прямой $$a$$ и $$AC=PQ$$.

Подробный ответ

Построим окружность с центром в точке $$A$$ и радиусом $$PQ$$. Тогда любая точка пересечения этой окружности с прямой $$a$$ будет удовлетворять условию $$AC=PQ$$.

Возможны три случая:

Окружность пересекает прямую $$a$$ в двух точках. Тогда получаются два искомых треугольника: $$\triangle ABC$$ и $$\triangle AB C_1$$, где $$C$$ и $$C_1$$ — точки пересечения окружности с прямой $$a$$.
Окружность касается прямой $$a$$ в одной точке. Тогда существует единственный искомый треугольник $$\triangle ABC$$, где $$C$$ — точка касания.
Окружность не пересекает прямую $$a$$. В этом случае построение невозможно.

Таким образом, искомый треугольник строится как треугольник с вершиной $$C$$ в точке пересечения прямой $$a$$ с окружностью $$\left(A;PQ\right)$$.