Упр.181 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны, если $$AB=A_1B_1$$, $$AC=A_1C_1$$, $$AM=A_1M_1$$, где $$AM$$ и $$A_1M_1$$ — медианы треугольников.
2. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

Пусть $$M$$ и $$M_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$B_1C_1$$ соответственно.

Докажем сначала, что $$BC=B_1C_1$$.

Продолжим медианы $$AM$$ и $$A_1M_1$$ за точки $$M$$ и $$M_1$$ и отметим точки $$D$$ и $$D_1$$ так, что $$AM=MD$$ и $$A_1M_1=M_1D_1$$.

Тогда в треугольниках $$BMD$$ и $$AMC$$ имеем:

• $$AM=MD$$ — по построению;
• $$BM=MC$$ — так как $$AM$$ — медиана;
• $$\angle BMD=\angle AMC$$ — вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle BMD \cong \triangle AMC$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, $$BD=AC$$.

Аналогично в треугольниках $$B_1M_1D_1$$ и $$A_1M_1C_1$$ получаем:

• $$A_1M_1=M_1D_1$$ — по построению;
• $$B_1M_1=M_1C_1$$ — так как $$A_1M_1$$ — медиана;
• $$\angle B_1M_1D_1=\angle A_1M_1C_1$$ — вертикальные углы.

Значит, $$B_1D_1=A_1C_1$$.

Теперь из условия $$AB=A_1B_1$$ и из равенства $$BD=B_1D_1$$, полученного выше, имеем

$$AD=AB+BD=A_1B_1+B_1D_1=A_1D_1.$$

Так как $$AM=MD$$ и $$A_1M_1=M_1D_1$$, то

$$BC=2BM=2MC=2MD=BD,$$

а значит, $$BC=B_1C_1$$.

Итак, у треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ попарно равны все три стороны:

$$AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad BC=B_1C_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по трём сторонам.

Ответ

$$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$