Упр.180 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На сторонах угла $$XOY$$ отмечены точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ так, что $$OA=OB$$, $$AC=BD$$ (рис. 97). Прямые $$AD$$ и $$BC$$ пересекаются в точке $$E$$. Докажите, что луч $$OE$$ — биссектриса угла $$XOY$$. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.
- Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой.
Обозначим точки пересечения прямых $$AD$$ и $$BC$$ через $$E$$. Докажем, что луч $$OE$$ делит угол $$XOY$$ пополам.
Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$. У них:
- $$OA=OB$$ по условию;
- $$OD=OC$$, так как $$OD=OB+BD$$ и $$OC=OA+AC$$, а из условия $$OA=OB$$ и $$AC=BD$$;
- $$\angle AOD=\angle BOC$$, поскольку это углы между сторонами, лежащими на одних и тех же прямых $$OX$$ и $$OY$$.
Следовательно, $$\triangle AOD \cong \triangle BOC$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$\angle DAO=\angle CBO.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$DAE$$ и $$CBE$$. Так как $$E\in AD$$ и $$E\in BC$$, то
$$\angle DAE=\angle DAC,\qquad \angle CBE=\angle CBD.$$
Кроме того, углы $$\angle DAC$$ и $$\angle DBC$$ смежные с равными углами $$\angle DAO$$ и $$\angle CBO$$ соответственно, поэтому
$$\angle DAC=\angle DBC.$$
При этом $$AC=BD$$ по условию. Значит, $$\triangle DAE \cong \triangle CBE$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда
$$AE=BE.$$
Рассмотрим теперь треугольники $$AOE$$ и $$BOE$$. У них:
- $$OA=OB$$ по условию;
- $$AE=BE$$;
- $$OE$$ — общая сторона.
Следовательно, $$\triangle AOE \cong \triangle BOE$$ по трём сторонам. Значит,
$$\angle AOE=\angle EOB.$$
Но точки $$A$$ и $$B$$ лежат на сторонах угла $$XOY$$, поэтому луч $$OE$$ делит этот угол на два равных угла. Следовательно, $$OE$$ — биссектриса угла $$XOY$$.
Способ построения биссектрисы по этому факту таков: на сторонах угла отмечают точки $$A$$ и $$B$$ так, чтобы $$OA=OB$$; затем на лучах угла откладывают точки $$C$$ и $$D$$ так, чтобы $$AC=BD$$; проводят прямые $$AD$$ и $$BC$$, их пересечение обозначают $$E$$. Тогда луч $$OE$$ и есть биссектриса угла.
Ответ
$$OE$$ — биссектриса угла $$XOY$$. Построение: выбрать точки $$A$$ и $$B$$ на сторонах угла так, чтобы $$OA=OB$$, затем отложить на лучах точки $$C$$ и $$D$$ так, чтобы $$AC=BD$$, провести $$AD$$ и $$BC$$; луч $$OE$$ делит угол пополам.
