Упр.177 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На рисунке 96 AC = AD, AB перпендикулярен CD. Докажите, что BC = BD и угол ACB = уголADB. Даны два треугольника: ABC и А1В1С1. Известно, что АВ = А1В1, АС = А1С1, угол A-угол A1. На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты соответственно точки К и L, а на сторонах А1С1 и В1С1 треугольника А1В1С1 — точки К1 и L1 так, что АК = А1К1, LC = L1C1. Докажите, что: a) KL = K1L1; б)AL = A1L1.

Подробный ответ

1) Так как $$AC=AD$$, то треугольник $$CAD$$ равнобедренный. Следовательно, прямая $$AB$$, перпендикулярная $$CD$$, является высотой, биссектрисой и медианой этого треугольника. Значит, точка $$O$$ — середина отрезка $$CD$$, то есть $$CO=OD$$.

2) Рассмотрим треугольники $$ACB$$ и $$ADB$$. У них:

$$BA$$ — общая сторона,

$$AC=AD$$ по условию,

$$\angle CAB=\angle DAB$$, так как $$AB$$ — биссектриса угла $$CAD$$.

Следовательно, $$\triangle ACB \cong \triangle ADB$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$BC=BD,$$

$$\angle ACB=\angle ADB.$$

Что и требовалось доказать.

Ход решения

1) Из равенства $$AB=A_1B_1$$, $$AC=A_1C_1$$ и $$\angle A=\angle A_1$$ следует, что треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

$$BC=B_1C_1,$$

$$\angle B=\angle B_1,$$

$$\angle C=\angle C_1.$$

2) Рассмотрим треугольники $$LCK$$ и $$L_1C_1K_1$$. Имеем:

$$LC=L_1C_1$$ по условию,

$$\angle LCK=\angle L_1C_1K_1,$$ так как $$\angle C=\angle C_1,$$

$$KC=AC-AK,\qquad K_1C_1=A_1C_1-A_1K_1.$$

Но $$AC=A_1C_1$$ и $$AK=A_1K_1$$, значит

$$KC=K_1C_1.$$

Следовательно, $$\triangle LCK \cong \triangle L_1C_1K_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$KL=K_1L_1.$$

3) Теперь рассмотрим треугольники $$ABL$$ и $$A_1B_1L_1$$. У них: