Упр.177 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На рисунке 96 $$AC=AD$$, $$AB\perp CD$$. Докажите, что $$BC=BD$$ и $$\angle ACB=\angle ADB$$.
Даны два треугольника: $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. Известно, что $$AB=A_1B_1$$, $$AC=A_1C_1$$, $$\angle A=\angle A_1$$. На сторонах $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ взяты соответственно точки $$K$$ и $$L$$, а на сторонах $$A_1C_1$$ и $$B_1C_1$$ треугольника $$A_1B_1C_1$$ — точки $$K_1$$ и $$L_1$$ так, что $$AK=A_1K_1$$, $$LC=L_1C_1$$. Докажите, что:
а) $$KL=K_1L_1$$;
б) $$AL=A_1L_1$$.

Подробный ответ

Так как $$AC=AD,$$ то $$\triangle ACD$$ — равнобедренный. Следовательно, высота $$AB$$, проведённая к основанию $$CD$$, является также медианой и биссектрисой. Значит, точка $$B$$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$CD$$, поэтому

$$BC=BD.$$

Рассмотрим треугольники $$ACB$$ и $$ADB$$. У них:

$$AC=AD$$ — по условию,
$$AB$$ — общая сторона,
$$BC=BD$$ — доказано выше.

Следовательно, $$\triangle ACB \cong \triangle ADB$$ по трём сторонам. Тогда соответствующие углы равны:

$$\angle ACB=\angle ADB.$$

Что и требовалось доказать.