Упр.174 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На рисунке 95 $$OC=OD$$, $$OB=OE$$. Докажите, что $$AB=EF$$. Объясните способ измерения ширины озера (отрезка $$AB$$ на рисунке 95), основанный на этой задаче.
Докажите, что $$\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$$, если $$\angle A=\angle A_1$$, $$\angle B=\angle B_1$$, $$BC=B_1C_1$$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$BOC$$ и $$EOD$$.

Имеем:

$$BO=OE$$ — по условию;
$$CO=OD$$ — по условию;
$$\angle BOC=\angle EOD$$ — как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle BOC \cong \triangle EOD$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$\angle CBO=\angle OED.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$OEF$$.

Так как точки $$A, B, C$$ лежат на одной прямой, а точки $$D, E, F$$ — на одной прямой, то

$$\angle ABO=180^\circ-\angle CBO,$$

$$\angle OEF=180^\circ-\angle OED.$$

Из равенства $$\angle CBO=\angle OED$$ получаем

$$\angle ABO=\angle OEF.$$

Кроме того, $$BO=OE$$ по условию, а $$\angle AOB=\angle EOF$$ как вертикальные углы.

Значит, $$\triangle ABO \cong \triangle OEF$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому

$$AB=EF.$$

Итак, доказано, что $$AB=EF$$.

Способ измерения ширины озера основан на том, что на берегу строят отрезки и лучи так, чтобы выполнялись условия $$OC=OD$$ и $$OB=OE$$. Тогда по доказанному равенству можно измерить доступный отрезок $$EF$$ и получить искомую ширину озера $$AB$$, не измеряя её непосредственно.