Упр.174 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На рисунке 95 OC = OD, ОВ = ОЕ. Докажите, что AB = EF. Объясните способ измерения ширины озера (отрезка АВ на рисунке 95), основанный на этой задаче. Докажите, что треугольник АВС = треугольник А1В1С1, если угол A = угол A1, угол B = угол B1, ВС = В1С1.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольники $$BOC$$ и $$EOD$$. У них:

$$BO=OE$$, $$OC=OD$$ по условию, а $$\angle BOC=\angle EOD$$ как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle BOC=\triangle EOD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$\angle CBO=\angle OED.$$

2) Найдём углы $$\angle ABO$$ и $$\angle OEF$$.

Так как точки $$A, B, C$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle ABO=180^\circ-\angle CBO.$$

А так как точки $$D, E, F$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle OEF=180^\circ-\angle OED.$$

Но $$\angle CBO=\angle OED$$, значит,

$$\angle ABO=\angle OEF.$$

3) Теперь рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$OEF$$. У них:

$$BO=OE$$ по условию,

$$\angle ABO=\angle OEF$$,

$$\angle AOB=\angle EOF$$ как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle ABO=\triangle OEF$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, соответствующие стороны равны:

$$AB=EF.$$

Это и требовалось доказать.

Ответ

$$AB=EF.$$

Ход решения

Чтобы измерить ширину озера $$AB$$, выбирают на берегу точки $$C, D, E, F$$ так, чтобы $$OC=OD$$ и $$OB=OE$$, а точки $$A, B, C$$ и $$D, E, F$$ лежали на прямых береговых линиях. Тогда по доказанному выше

$$AB=EF.$$

Значит, вместо недоступного для измерения отрезка $$AB$$ достаточно измерить доступный отрезок $$EF$$.

Ход решения

Докажем, что $$\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$$, если $$\angle A=\angle A_1$$, $$\angle B=\angle B_1$$, $$BC=B_1C_1$$.

Проведём дополнительное построение: из вершины $$B$$ опустим перпендикуляр $$BD$$ на прямую $$AC$$, а из вершины $$B_1$$ — перпендикуляр $$B_1D_1$$ на прямую $$A_1C_1$$.

Тогда в прямоугольных треугольниках $$BDC$$ и $$B_1D_1C_1$$ имеем:

$$\angle BDC=\angle B_1D_1C_1=90^\circ,$$

$$\angle BCD=\angle B_1C_1D_1$$ как дополнительные к равным углам $$\angle C$$ и $$\angle C_1$$,

$$BC=B_1C_1$$ по условию.

Следовательно, $$\triangle BDC=\triangle B_1D_1C_1$$, откуда

$$CD=C_1D_1.$$

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$. У них:

$$\angle ADB=\angle A_1D_1B_1=90^\circ,$$

$$\angle BAD=\angle B_1A_1D_1$$, так как $$\angle A=\angle A_1,$$

$$BD=B_1D_1$$, поскольку это соответствующие стороны равных треугольников $$BDC$$ и $$B_1D_1C_1$$.

Значит, $$\triangle ABD=\triangle A_1B_1D_1$$, поэтому

$$AB=A_1B_1,$$