Упр.172 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Стороны равностороннего треугольника ABC продолжены, как показано на рисунке 94, на равные отрезки AD, СЕ, BF. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний. На рисунке 96 AC = AD, AB перпендикулярен CD. Докажите, что BC = BD и угол ACB = уголADB.

Подробный ответ

1) Так как $$\triangle ABC$$ — равносторонний, то $$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$$.

2) Рассмотрим смежные углы:

$$\angle 1+\angle A=180^\circ,$$

$$\angle 2+\angle B=180^\circ,$$

$$\angle 3+\angle C=180^\circ.$$

Так как $$\angle A=\angle B=\angle C,$$ то $$\angle 1=\angle 2=\angle 3.$$

3) Запишем равенства для отрезков:

$$DB=DA+AB,$$

$$FC=FB+BC,$$

$$AE=AC+CE.$$

По условию $$AD=CE=BF,$$ а в равностороннем треугольнике $$AB=BC=CA.$$ Тогда

$$DB=AD+AB,$$

$$FC=BF+BC,$$

$$AE=AC+CE.$$

Следовательно,

$$DB=FC=AE.$$

4) Теперь рассмотрим треугольники $$DBF,$$ $$FEC$$ и $$DEA.$$ У них равны две стороны и угол между ними:

$$AD=CE=BF \quad (\text{по условию}),$$

$$DB=FC=AE \quad (\text{по пункту 3}),$$

$$\angle 1=\angle 2=\angle 3 \quad (\text{по пункту 2}).$$

Значит, эти треугольники равны, откуда

$$DF=FE=DE.$$

Следовательно, $$\triangle DFE$$ — равносторонний.

Ответ

$$\triangle DEF$$ равносторонний.

Ход решения

1) Так как $$AC=AD,$$ то $$\triangle CAD$$ — равнобедренный. Значит, $$\angle DCA=\angle CDA.$$

Поскольку $$AB\perp CD,$$ точка $$O$$ — основание перпендикуляра из $$A$$ на прямую $$CD$$, поэтому в равнобедренном треугольнике $$CAD$$ отрезок $$AO$$ является высотой, биссектрисой и медианой. Отсюда

$$CO=OD.$$

2) Рассмотрим треугольники $$ACB$$ и $$ADB.$$ У них:

$$AB$$ — общая сторона,

$$AC=AD \quad (\text{по условию}),$$

$$BC=BD \quad (\text{так как } O \text{ — середина } CD \text{ и } AB\perp CD).$$

Следовательно, $$\triangle ACB \cong \triangle ADB$$ по трём сторонам. Тогда соответствующие углы равны:

$$\angle ACB=\angle ADB.$$