Упр.172 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Стороны равностороннего треугольника $$ABC$$ продолжены, как показано на рисунке 94, на равные отрезки $$AD$$, $$CE$$, $$BF$$. Докажите, что треугольник $$DEF$$ — равносторонний.
2. На рисунке 96 $$AC = AD$$, $$AB \perp CD$$. Докажите, что $$BC = BD$$ и $$\angle ACB = \angle ADB$$.

Так как $$\triangle ABC$$ — равносторонний, то

$$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$$

Рассмотрим смежные углы при вершинах $$D,\ E,\ F$$:

$$\angle 1+\angle A=180^\circ,$$

$$\angle 2+\angle B=180^\circ,$$

$$\angle 3+\angle C=180^\circ.$$

Так как $$\angle A=\angle B=\angle C,$$ то

$$\angle 1=\angle 2=\angle 3.$$

Теперь запишем длины сторон:

$$DB=DA+AB,$$

$$FC=FB+BC,$$

$$AE=AC+CE.$$

Но по условию $$AD=CE=BF,$$ а в равностороннем треугольнике $$AB=BC=CA.$$ Поэтому

$$DB=DA+AB=BF+BC=FC,$$

и аналогично

$$FC=AE.$$

Следовательно,

$$DB=FC=AE.$$

Рассмотрим треугольники $$DBF$$, $$FEC$$ и $$DEA$$. У них:

$$AD=CE=BF$$ — по условию,

$$DB=FC=AE$$ — по доказанному,

$$\angle 1=\angle 2=\angle 3$$ — углы между этими сторонами равны.

Значит, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда получаем:

$$DF=FE=DE.$$

Следовательно, $$\triangle DEF$$ — равносторонний.

Ответ: $$\triangle DEF$$ равносторонний.