Упр.171 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. Точки М и N — середины отрезков АС и BD. Докажите, что точка О — середина отрезка MN. В треугольниках ABC и ADC стороны ВС и AD равны и пересекаются в точке О, угол OAC = угол OCA. Докажите, что треугольники АВО и С DO равны.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$. По условию $$AO=OB$$ и $$CO=OD$$. Углы $$\angle AOC$$ и $$\angle BOD$$ — вертикальные, значит, они равны.

Следовательно, $$\triangle AOC \cong \triangle BOD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда получаем:

$$AC=BD,$$

а также $$\angle OAC=\angle OBD$$ и $$\angle OCA=\angle ODB$$.

Теперь рассмотрим треугольники $$MOC$$ и $$NOD$$. Так как $$M$$ и $$N$$ — середины отрезков $$AC$$ и $$BD$$, то

$$MC=\frac{AC}{2}, \qquad DN=\frac{BD}{2}.$$

Но $$AC=BD$$, значит, $$MC=DN$$.

Кроме того, точки $$M, A, C$$ лежат на одной прямой, а точки $$N, B, D$$ — на одной прямой, поэтому углы $$\angle MCO$$ и $$\angle NDO$$ равны соответственно углам $$\angle ACO$$ и $$\angle BDO$$. Из равенства треугольников $$AOC$$ и $$BOD$$ имеем $$\angle ACO=\angle BDO$$, значит, $$\angle MCO=\angle NDO$$.

Также $$OC=OD$$ по условию. Тогда в треугольниках $$MOC$$ и $$NOD$$:

$$MC=DN,$$

$$OC=OD,$$

$$\angle MCO=\angle NDO.$$

Следовательно, $$\triangle MOC \cong \triangle NOD$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит,

$$OM=ON.$$

Точка $$O$$ — середина отрезка $$MN$$.