Упр.171 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в их общей середине $$O$$. Точки $$M$$ и $$N$$ — середины отрезков $$AC$$ и $$BD$$. Докажите, что точка $$O$$ — середина отрезка $$MN$$.
В треугольниках $$ABC$$ и $$ADC$$ стороны $$BC$$ и $$AD$$ равны и пересекаются в точке $$O$$, $$\angle OAC = \angle OCA$$. Докажите, что треугольники $$ABO$$ и $$CDO$$ равны.

Подробный ответ

Рассмотрим сначала первый вариант задания.

Так как точки $$M$$ и $$N$$ — середины отрезков $$AC$$ и $$BD$$, то

$$AM=MC,\qquad BN=ND.$$

По условию точки $$A,O,B$$ лежат на одной прямой и $$AO=OB$$, а точки $$C,O,D$$ лежат на одной прямой и $$CO=OD$$.

Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$. В них

$$AO=OB,\qquad CO=OD,$$

а углы $$\angle AOC$$ и $$\angle BOD$$ — вертикальные, значит, равны.

Следовательно, $$\triangle AOC \cong \triangle BOD$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$AC=BD.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$MOC$$ и $$NOD$$. Имеем

$$CO=OD,$$

а также

$$MC=\frac{AC}{2},\qquad DN=\frac{BD}{2}.$$

Так как $$AC=BD$$, то

$$MC=DN.$$

Кроме того, углы $$\angle MCO$$ и $$\angle NDO$$ равны как углы, образованные соответственно прямыми $$AC$$ и $$BD$$ с прямой $$CD$$ в равных треугольниках $$AOC$$ и $$BOD$$. Значит, треугольники $$MOC$$ и $$NOD$$ равны по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда следует, что

$$OM=ON.$$

Так как точки $$M,O,N$$ лежат на одной прямой, то точка $$O$$ — середина отрезка $$MN$$.

Для второго варианта задания:

Рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$CDO$$. По условию $$BC=AD$$, а также $$O$$ — точка пересечения отрезков $$BC$$ и $$AD$$, поэтому

$$\angle OAC=\angle OCA.$$

Из равенства треугольников $$ABC$$ и $$ADC$$ по двум сторонам и углу между ними получаем

$$AB=CD,\qquad \angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D.$$

Так как $$\angle OAC=\angle OCA$$, то

$$\angle BAO=\angle A-\angle OAC,\qquad \angle DCO=\angle C-\angle OCA,$$

следовательно,

$$\angle BAO=\angle DCO.$$