Упр.170 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года.
Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в их общей середине $$O$$. На отрезках $$AC$$ и $$BD$$ отмечены точки $$K$$ и $$K_1$$ так, что $$AK = BK_1$$. Докажите, что:
а) $$OK = OK_1$$;
б) точка $$O$$ лежит на прямой $$KK_1$$. - Задание учебника 2023 года.
Докажите, что треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны, если $$AB = A_1B_1$$, $$\angle A = \angle A_1$$, $$AD = A_1D_1$$, где $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы треугольников.
Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$.
По условию $$AO=OB$$ и $$CO=OD$$. Углы $$\angle AOC$$ и $$\angle BOD$$ — вертикальные, значит, они равны.
Следовательно, $$\triangle AOC \cong \triangle BOD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$\angle ACO=\angle BDO.$$
Так как точки $$K$$ и $$K_1$$ лежат соответственно на отрезках $$AC$$ и $$BD$$, то лучи $$CK$$ и $$BD$$, а также $$BK_1$$ и $$BD$$ задают соответствующие направления на этих отрезках. Поэтому из равенства треугольников получаем, что точки $$K$$ и $$K_1$$ расположены симметрично относительно точки $$O$$, а значит,
$$OK=OK_1.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$AKO$$ и $$BK_1O$$.
Имеем:
$$AO=OB$$ — по условию,
$$AK=BK_1$$ — по условию,
$$\angle AOK=\angle BOK_1$$ — как соответствующие углы при равных треугольниках $$AOC$$ и $$BOD$$.
Следовательно, $$\triangle AKO \cong \triangle BK_1O$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда
$$\angle AOK=\angle BOK_1.$$
Но эти углы — вертикальные, значит, точки $$K$$, $$O$$ и $$K_1$$ лежат на одной прямой.
Итак, $$OK=OK_1$$ и $$O \in KK_1$$.
Ответ: $$OK=OK_1$$, $$O \in KK_1$$.
