Упр.169 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На сторонах равностороннего треугольника $$ABC$$ отложены равные отрезки $$AD$$, $$BE$$ и $$CF$$, как показано на рисунке 93. Точки $$D$$, $$E$$, $$F$$ соединены отрезками. Докажите, что треугольник $$DEF$$ — равносторонний.
2. На рисунке 95 $$OC = OD$$, $$OB = OE$$. Докажите, что $$AB = EF$$. Объясните способ измерения ширины озера (отрезка $$AB$$ на рисунке 95), основанный на этой задаче.

Рассмотрим треугольники $$AED$$, $$BEF$$ и $$DFC$$.

Так как $$ABC$$ — равносторонний, то

$$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$$

По условию $$AD=BE=CF$$. Кроме того,

$$AE=AB-BE,\quad BF=BC-CF,\quad DC=AC-AD.$$

Но $$AB=BC=AC$$ и $$AD=BE=CF$$, значит

$$AE=BF=DC.$$

Теперь в треугольниках $$AED$$ и $$BEF$$ имеем:

$$AD=BE,$$

$$AE=BF,$$

$$\angle DAE=\angle EBF=60^\circ$$

как углы равностороннего треугольника.

Следовательно, $$\triangle AED \cong \triangle BEF$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$ED=EF.$$

Аналогично, треугольники $$BEF$$ и $$DFC$$ равны, поэтому

$$EF=FD.$$

Итак,

$$ED=EF=FD,$$

значит, треугольник $$DEF$$ равносторонний.

Ответ

$$\triangle DEF$$ — равносторонний.