Упр.167 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На рисунке 92 треугольник $$ADE$$ равнобедренный, $$DE$$ — основание. Докажите, что: а) если $$BD=CE$$, то $$\angle CAD=\angle BAE$$ и $$AB=AC$$; б) если $$\angle CAD=\angle BAE$$, то $$BD=CE$$ и $$AB=AC$$.
2. Стороны равностороннего треугольника $$ABC$$ продолжены, как показано на рисунке 94, на равные отрезки $$AD$$, $$CE$$, $$BF$$. Докажите, что треугольник $$DEF$$ — равносторонний.

а) Рассмотрим треугольники $$DAB$$ и $$CAE$$.

В них:

• $$AD=AE$$ — так как $$\triangle ADE$$ равнобедренный;
• $$BD=CE$$ — по условию;
• $$\angle DAB=\angle CAE$$, так как $$AB$$ и $$AC$$ лежат внутри угла $$DAE$$, а соответствующие углы при равных боковых сторонах равнобедренного треугольника равны.

Следовательно, $$\triangle DAB \cong \triangle CAE$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$AB=AC$$ и $$\angle DBA=\angle ACE.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$DAC$$ и $$BAE$$.

Имеем:

• $$AD=AE$$;
• $$AC=AB$$;
• $$DC=DB+BC,\quad BE=CE+BC.$$

Так как $$BD=CE$$, то $$DC=BE$$. Значит, $$\triangle DAC \cong \triangle BAE$$ по трём сторонам. Поэтому

$$\angle CAD=\angle BAE.$$

б) Пусть теперь $$\angle CAD=\angle BAE$$.

Рассмотрим треугольники $$DAC$$ и $$BAE$$. В них:

• $$AD=AE$$ — по условию;
• $$\angle DAE$$ — общий угол, а из равнобедренности $$\triangle ADE$$ получаем равенство углов при основании;
• $$\angle CAD=\angle BAE$$ — по условию.

Следовательно, $$\triangle DAC \cong \triangle BAE$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда

$$AC=AB$$ и $$DC=BE.$$

Но

$$DC=DB+BC,\qquad BE=CE+BC.$$

Из равенства $$DC=BE$$ получаем $$DB=CE$$.

Итак, доказано, что $$BD=CE$$ и $$AB=AC$$.