Упр.165 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Прямая $$a$$ проходит через середину отрезка $$AB$$ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой $$a$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$; б) каждая точка, равноудалённая от точек $$A$$ и $$B$$, лежит на прямой $$a$$.
Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в их общей середине $$O$$. На отрезках $$AC$$ и $$BD$$ отмечены точки $$K$$ и $$K_1$$ так, что $$AK = BK_1$$. Докажите, что: a) $$OK = OK_1$$; б) точка $$O$$ лежит на прямой $$KK_1$$.

Подробный ответ

Рассмотрим точки $$A,B,O,D$$, где $$O$$ — середина отрезка $$AB$$, а прямая $$a$$ проходит через точку $$O$$ и перпендикулярна $$AB$$.

Доказательство

1) Докажем, что $$AD=DB$$.

Рассмотрим треугольники $$DOA$$ и $$DOB$$. У них:

$$DO$$ — общая сторона;
$$AO=OB$$, так как $$O$$ — середина $$AB$$;
$$\angle DOA=\angle DOB=90^\circ$$, так как $$a\perp AB$$.

Следовательно, $$\triangle DOA \cong \triangle DOB$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, $$AD=DB$$.

2) Докажем, что если $$AD=DB$$, то $$D\in a$$.

Теперь треугольники $$DOA$$ и $$DOB$$ равны по трём сторонам:

$$DO$$ — общая сторона;
$$AO=OB$$;
$$AD=DB$$ по условию.

Отсюда $$\angle ADO=\angle ODB$$ и $$\angle AOD=\angle DOB$$.

Но $$\angle AOD$$ и $$\angle DOB$$ — смежные углы, значит, их сумма равна $$180^\circ$$. Так как они равны, то каждый из них равен $$90^\circ$$.

Следовательно, $$DO\perp AB$$. Прямая, проходящая через середину отрезка $$AB$$ и перпендикулярная ему, единственна, значит, $$D$$ лежит на прямой $$a$$.

Итак, каждая точка прямой $$a$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$, и наоборот, каждая точка, равноудалённая от $$A$$ и $$B$$, лежит на прямой $$a$$.