Упр.164 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника. На сторонах равностороннего треугольника ABC отложены равные отрезки AD, BE и CF, как показано на рисунке 93. Точки D, Е, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.

Подробный ответ

1) Пусть даны два равнобедренных треугольника $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$, причём $$AB=A_1B_1$$ и $$\angle B=\angle B_1$$ — углы, противолежащие основаниям.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит

$$AB=BC,\qquad A_1B_1=B_1C_1.$$

Так как по условию $$AB=A_1B_1$$, то получаем

$$AB=BC=A_1B_1=B_1C_1.$$

Следовательно, в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны две стороны и угол между ними:

$$AB=A_1B_1,\qquad BC=B_1C_1,\qquad \angle B=\angle B_1.$$

Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними.

2) Рассмотрим равносторонний треугольник $$ABC$$. На его сторонах отложены равные отрезки $$AD=BE=CF$$. Нужно доказать, что $$\triangle DEF$$ равносторонний.

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то

$$AB=BC=CA,\qquad \angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$$

Из равенства отрезков $$AD=BE=CF$$ и равенства сторон равностороннего треугольника получаем:

$$AE=AB-BE,\qquad BF=BC-CF,\qquad DC=AC-AD.$$

Поскольку $$AB=BC=AC$$ и $$AD=BE=CF$$, то

$$AE=BF=DC.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AED$$, $$BEF$$ и $$DFC$$. У них:

$$AD=BE=CF,$$

$$AE=BF=DC,$$

а углы между этими сторонами равны, так как они равны углам равностороннего треугольника:

$$\angle DAE=\angle EBF=\angle FCD=60^\circ.$$

Следовательно, треугольники $$AED$$, $$BEF$$ и $$DFC$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, соответствующие стороны равны: