Упр.163 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основание равнобедренного треугольника равно $$8\text{ см}$$. Медиана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на $$2\text{ см}$$ больше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника.
Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Подробный ответ

Обозначим боковые стороны равнобедренного треугольника через $$BC=AB=x,$$ а основание пусть будет $$AC=8$$. Пусть $$CM$$ — медиана к боковой стороне $$AB$$, значит точка $$M$$ — середина стороны $$AB$$, поэтому $$AM=MB=\frac{x}{2}$$.

Рассмотрим два треугольника, на которые медиана $$CM$$ разбивает исходный треугольник: $$\triangle AMC$$ и $$\triangle MBC$$.

Их периметры равны:

$$P_{AMC}=AC+AM+MC,$$
$$P_{MBC}=BC+BM+MC.$$

По условию периметр одного треугольника на $$2$$ см больше периметра другого. Тогда возможны два случая.

$$P_{AMC}-P_{MBC}=2,$$
тогда
$$AC+AM+MC-(BC+BM+MC)=2,$$
$$AC+AM-BC-BM=2.$$

Так как $$AM=BM,$$ получаем:

$$AC-BC=2,$$
$$8-x=2,$$
$$x=6.$$

Во втором случае:

$$P_{MBC}-P_{AMC}=2,$$
тогда
$$BC+BM+MC-(AC+AM+MC)=2,$$
$$BC-BM-AC+AM=2.$$

Снова учитывая, что $$AM=BM,$$ имеем:

$$BC-AC=2,$$
$$x-8=2,$$
$$x=10.$$

Следовательно, боковая сторона треугольника может быть равна $$6$$ см или $$10$$ см.