Упр.158 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а. Решение Построим окружность с центром в данной точке М, пересекающую данную прямую а в двух точках, которые обозначим буквами А и В (рис. 91). Затем построим две окружности с центрами А и В, проходящие через точку М. Эти окружности пересекаются в точке М и ещё в одной точке, которую обозначим буквой N. Проведём прямую MN и докажем, что эта прямая — искомая, т. е. она перпендикулярна к прямой а. В самом деле, треугольники AMN и BMN равны по трём сторонам, поэтому угол1 = угол2. Отсюда следует, что отрезок МС (С — точка пересечения прямых а и MN) является биссектрисой равнобедренного треугольника АМВ, а значит, и высотой. Таким образом, MN перпендикулярна АВ, т. е. MN перпендикулярна а. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник, у которого основание $$AC=8$$ см, а боковые стороны равны: $$AB=BC$$. Медиана $$CM$$ проведена к боковой стороне $$AB$$, значит, точка $$M$$ — середина стороны $$AB$$, то есть $$AM=MB$$.

Рассмотрим два треугольника: $$AMC$$ и $$MBC$$. Их периметры равны:

$$P_{AMC}=AC+AM+MC,$$

$$P_{MBC}=BC+BM+MC.$$

По условию один периметр на $$2$$ см больше другого. Сначала запишем:

$$P_{AMC}-P_{MBC}=2.$$

Тогда

$$AC+AM+MC-(BC+BM+MC)=2,$$

$$AC+AM-BC-BM=2.$$

Так как $$AM=BM$$, получаем:

$$AC-BC=2,$$

$$8-BC=2,$$

$$BC=6.$$