Упр.154 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны прямая $$a$$, точка $$B$$, не лежащая на ней, и отрезок $$PQ$$. Постройте точку $$M$$ на прямой $$a$$ так, чтобы $$BM = PQ$$. Всегда ли задача имеет решение?
2. Дан треугольник $$ABC$$. Постройте: а) биссектрису $$AK$$; б) медиану $$BM$$; в) высоту $$CH$$ треугольника.

Построим окружность с центром в точке $$B$$ и радиусом, равным отрезку $$PQ$$. Тогда все точки, лежащие на этой окружности, находятся от точки $$B$$ на расстоянии $$PQ$$.

Искомая точка $$M$$ должна одновременно лежать на прямой $$a$$ и на этой окружности. Значит, нужно найти точки пересечения прямой $$a$$ с окружностью.

Возможны три случая:

• прямая $$a$$ пересекает окружность в двух точках $$M$$ и $$M_1$$ — тогда задача имеет два решения;
• прямая $$a$$ касается окружности — тогда задача имеет одно решение;
• прямая $$a$$ не имеет общих точек с окружностью — тогда задача не имеет решения.

Следовательно, задача не всегда имеет решение.

Ответ

Построить окружность с центром в $$B$$ и радиусом $$PQ$$; точки её пересечения с прямой $$a$$ и будут искомыми. Решение существует не всегда: если прямая $$a$$ не пересекает окружность, то решения нет.