Упр.153 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На прямой даны две точки А и В. На продолжении луча ВА отложите отрезок ВС так, чтобы ВС = 2АВ. Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а. Решение Построим окружность с центром в данной точке М, пересекающую данную прямую а в двух точках, которые обозначим буквами А и В (рис. 91). Затем построим две окружности с центрами А и В, проходящие через точку М. Эти окружности пересекаются в точке М и ещё в одной точке, которую обозначим буквой N. Проведём прямую MN и докажем, что эта прямая — искомая, т. е. она перпендикулярна к прямой а. В самом деле, треугольники AMN и BMN равны по трём сторонам, поэтому угол1 = угол2. Отсюда следует, что отрезок МС (С — точка пересечения прямых а и MN) является биссектрисой равнобедренного треугольника АМВ, а значит, и высотой. Таким образом, MN перпендикулярна АВ, т. е. MN перпендикулярна а.

Подробный ответ

Построим окружность с центром в точке $$M$$, пересекающую прямую $$a$$ в точках $$A$$ и $$B$$.

Затем построим две окружности: одну с центром в точке $$A$$ и радиусом $$AM$$, другую с центром в точке $$B$$ и радиусом $$BM$$. Эти окружности пересекутся в точках $$M$$ и $$N$$.

Проведём прямую $$MN$$.

Докажем, что $$MN \perp a$$. Так как $$AM=BM$$ и $$AN=BN$$, а сторона $$MN$$ — общая, то треугольники $$AMN$$ и $$BMN$$ равны по трём сторонам. Следовательно,

$$\angle AMN=\angle NMB.$$

Значит, прямая $$MN$$ делит угол $$AMB$$ пополам. Но точки $$A$$ и $$B$$ лежат на окружности с центром в $$M$$, поэтому $$MA=MB$$, и треугольник $$AMB$$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также высотой. Поэтому

$$MN \perp AB.$$

Так как точки $$A$$ и $$B$$ лежат на прямой $$a$$, то $$AB \subset a$$, следовательно,

$$MN \perp a.$$