Упр.153 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На прямой даны две точки $$A$$ и $$B$$. На продолжении луча $$BA$$ отложите отрезок $$BC$$ так, чтобы $$BC=2AB$$.
- Даны прямая $$a$$ и точка $$M$$, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку $$M$$ и перпендикулярную к прямой $$a$$.
Построим окружность с центром в точке $$M$$, пересекающую прямую $$a$$ в точках $$A$$ и $$B$$.
Затем построим две окружности: одну с центром в точке $$A$$ и радиусом $$AM$$, другую с центром в точке $$B$$ и радиусом $$BM$$. Эти окружности пересекутся в точках $$M$$ и $$N$$.
Проведём прямую $$MN$$.
Докажем, что $$MN \perp a$$. Так как $$AM=BM,$$ $$AN=BN,$$ $$MN=MN,$$ то треугольники $$AMN$$ и $$BMN$$ равны по трём сторонам. Следовательно, $$\angle AMN=\angle NMB.$$ Значит, прямая $$MN$$ является биссектрисой угла $$AMB$$.
Но точки $$A$$, $$C$$, $$B$$ лежат на одной прямой $$a$$, поэтому треугольник $$AMB$$ равнобедренный, а биссектриса, проведённая из его вершины $$M$$ к основанию $$AB$$, является также высотой. Следовательно, $$MN \perp AB.$$ Так как $$AB \subset a$$, то $$MN \perp a.$$
Искомая прямая построена.
