Упр.147 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Равнобедренные треугольники $$ADC$$ и $$BCD$$ имеют общее основание $$DC$$. Прямая $$AB$$ пересекает отрезок $$CD$$ в точке $$O$$. Докажите, что: а) $$\angle ADB = \angle ACB$$; б) $$DO = OC$$.
2. На окружности с центром $$O$$ отмечены точки $$A$$ и $$B$$ так, что угол $$AOB$$ — прямой. Отрезок $$BC$$ — диаметр окружности. Докажите, что хорды $$AB$$ и $$AC$$ равны.

Рассмотрим треугольники $$ADC$$ и $$BCD$$. По условию они равнобедренные с общим основанием $$CD$$, значит

$$AC=AD,\qquad BC=BD.$$

Тогда в равнобедренном треугольнике $$ADC$$ углы при основании равны:

$$\angle ACD=\angle ADC.$$

А в равнобедренном треугольнике $$BCD$$:

$$\angle BCD=\angle BDC.$$

Так как точки $$A$$ и $$B$$ лежат по одну сторону от прямой $$CD$$, то

$$\angle ADB=\angle BDC-\angle ADC,$$

$$\angle ACB=\angle BCD-\angle ACD.$$

Но $$\angle BDC=\angle BCD$$ и $$\angle ADC=\angle ACD$$, следовательно,

$$\angle ADB=\angle ACB.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$BCA$$ и $$BDA$$. У них

$$BC=BD,\qquad CA=AD,\qquad \angle ACB=\angle ADB.$$

Значит, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$\angle CBA=\angle DAB.$$

Пусть $$O$$ — точка пересечения прямой $$AB$$ с отрезком $$CD$$. Тогда в треугольниках $$CBO$$ и $$OBD$$ имеем:

$$BC=BD,$$

$$BO$$ — общая сторона,

$$\angle CBO=\angle OBD$$

как соответствующие углы равных треугольников $$BCA$$ и $$BDA$$.

Следовательно, треугольники $$CBO$$ и $$OBD$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,

$$CO=OD.$$

Итак, $$O$$ — середина отрезка $$CD$$.

Ответ

$$\angle ADB=\angle ACB,\qquad DO=OC.$$