Упр.146 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В треугольниках ABC и А1В1С1 отрезки AD и A1D1 — биссектрисы, АВ = А1В1, BD = B1D1 и AD = A1D1. Докажите, что треугольник АВС = треугольник А1В1С1. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что СВ = 13 см, АВ = 16 см.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$. По условию:

$$AB=A_1B_1,\quad AD=A_1D_1,\quad BD=B_1D_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABD=\triangle A_1B_1D_1$$ по трём сторонам. Тогда

$$\angle BAD=\angle B_1A_1D_1,\quad \angle ABD=\angle A_1B_1D_1.$$

2) Так как $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы, то

$$\angle A=\angle BAD+\angle DAC,$$

$$\angle A_1=\angle B_1A_1D_1+\angle D_1A_1C_1.$$

Из равенства треугольников $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$ получаем $$\angle BAD=\angle B_1A_1D_1$$, а из условия биссектрис следует, что $$\angle DAC=\angle D_1A_1C_1$$. Значит,

$$\angle A=\angle A_1.$$

3) Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. У них:

$$\angle A=\angle A_1,$$

$$\angle B=\angle B_1,$$

$$AB=A_1B_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Таким образом, треугольники равны.