Упр.145 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ медианы $$BM$$ и $$B_1M_1$$ равны, $$AB=A_1B_1$$, $$AC=A_1C_1$$. Докажите, что треугольник $$ABC$$ = треугольник $$A_1B_1C_1$$.
2. Отрезок $$MK$$ — диаметр окружности с центром $$O$$, а $$MP$$ и $$PK$$ — равные хорды этой окружности. Найдите угол $$POM$$.

Так как $$BM$$ и $$B_1M_1$$ — медианы, то точки $$M$$ и $$M_1$$ являются серединами отрезков $$AC$$ и $$A_1C_1$$ соответственно. Поэтому

$$AM=\frac{AC}{2}, \qquad A_1M_1=\frac{A_1C_1}{2}.$$

Из условия $$AC=A_1C_1$$, значит,

$$AM=A_1M_1.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$. В них

$$AB=A_1B_1,$$

$$BM=B_1M_1,$$

$$AM=A_1M_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle A_1B_1M_1$$ по трём сторонам. Тогда

$$\angle BAM=\angle B_1A_1M_1.$$

Но точки $$M$$ и $$M_1$$ лежат на прямых $$AC$$ и $$A_1C_1$$, значит,

$$\angle BAM=\angle BAC,\qquad \angle B_1A_1M_1=\angle B_1A_1C_1.$$

Итак,

$$\angle A=\angle A_1.$$

Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ имеем

$$AB=A_1B_1,$$

$$AC=A_1C_1,$$

$$\angle A=\angle A_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними.