Упр.145 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В треугольниках ABC и А1В1С1 медианы ВМ и В1М1 равны, АВ = А1В1, АС = А1С1. Докажите, что треугольник АВС = треугольник А1В1С1. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности. Найдите угол POM.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$.

Так как $$BM$$ и $$B_1M_1$$ — медианы, то $$AM=MC$$ и $$A_1M_1=M_1C_1$$. Из условия $$AC=A_1C_1$$, значит

$$AM=\frac{AC}{2}, \qquad A_1M_1=\frac{A_1C_1}{2},$$

откуда $$AM=A_1M_1$$.

Кроме того, по условию $$AB=A_1B_1$$ и $$BM=B_1M_1$$. Следовательно,

$$\triangle ABM \cong \triangle A_1B_1M_1$$

по трём сторонам. Тогда $$\angle A=\angle A_1$$.

2) Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. Имеем:

$$AB=A_1B_1,$$

$$AC=A_1C_1,$$

$$\angle A=\angle A_1.$$

Значит,

$$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$

по двум сторонам и углу между ними.

3) Найдём угол $$\angle POM$$.

Так как $$MP=PK$$, то $$\triangle MPK$$ равнобедренный. По условию $$MK$$ — диаметр окружности с центром $$O$$, значит точка $$O$$ лежит на прямой $$MK$$, а отрезок $$OP$$ в равнобедренном треугольнике $$MPK$$ является медианой к основанию $$MK$$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому

$$OP \perp MK.$$

Так как $$OM$$ лежит на прямой $$MK$$, то

$$\angle POM=90^\circ.$$