Упр.144 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На рисунке 76 $$AB=CD$$, $$AD=BC$$, $$BE$$ — биссектриса угла $$ABC$$, а $$DF$$ — биссектриса угла $$ADC$$. Докажите, что:
   а) $$\angle ABE=\angle ADF$$;
   б) $$\triangle ABE=\triangle CDF$$.
2. Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ — диаметры окружности. Докажите, что:
   а) хорды $$BD$$ и $$AC$$ равны;
   б) хорды $$AD$$ и $$BC$$ равны;
   в) $$\angle BAD=\angle BCD$$.

Пусть $$O$$ — центр окружности. Тогда, так как $$AB$$ и $$CD$$ — диаметры, то точки $$A,O,B$$ и $$C,O,D$$ лежат на одной прямой, а также

$$AO=BO=CO=DO.$$

Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$DOB$$. В них

$$AO=BO,$$
$$OC=OD,$$
$$\angle AOC=\angle BOD$$

как вертикальные углы. Значит, $$\triangle AOC \cong \triangle DOB$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$AC=BD.$$

Аналогично рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$COB$$. В них

$$AO=BO,$$
$$OD=OC,$$
$$\angle AOD=\angle COB$$

как вертикальные углы. Следовательно, $$\triangle AOD \cong \triangle COB$$, поэтому

$$AD=BC.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ADB$$ и $$DCB$$. У них

$$AD=BC,$$
$$DB=DB,$$
$$AB=CD$$

как диаметры одной окружности. Значит, $$\triangle ADB \cong \triangle DCB$$ по трём сторонам. Тогда соответствующие углы равны:

$$\angle BAD=\angle BCD.$$

Ответ: $$BD=AC,$$ $$AD=BC,$$ $$\angle BAD=\angle BCD.$$