Упр.1431 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Воспользуемся задачей 909,при гомотетии с центром в точке H и коэффициентом k=1/2 точки A_1,B_1 и C_1 перейдут в основания высот треугольника ABC, точки A_2,B_2,C_2 перейдут в середины его сторон и точки A,B,C перейдут в середины отрезков AH,BH и CH, то есть, через данные точки проходит окружность радиуса вдвое меньшего, чем радиус описанной окружности, при этом ее центр лежит на прямой Эйлера, проходящей через ортоцентр и центр описанной около ABC окружности, что и требовалось доказать.
Обозначим через $$H$$ ортоцентр треугольника $$ABC$$. Воспользуемся результатом задачи 909: при гомотетии с центром в точке $$H$$ и коэффициентом $$k=\frac12$$ точки, симметричные вершинам треугольника относительно его сторон, переходят в основания высот, а середины сторон и середины отрезков $$AH$$, $$BH$$, $$CH$$ оказываются на одной окружности.
Рассмотрим гомотетию с центром $$H$$ и коэффициентом $$\frac12$$. Тогда:
- точки $$A_1, B_1, C_1$$ переходят в основания высот треугольника $$ABC$$;
- точки $$A_2, B_2, C_2$$ переходят в середины его сторон;
- точки $$A, B, C$$ переходят в середины отрезков $$AH, BH, CH$$.
По задаче 909 все эти точки лежат на одной окружности. При гомотетии радиус окружности уменьшается в $$2$$ раза, значит радиус искомой окружности равен
$$r=\frac{R}{2},$$
где $$R$$ — радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$.
Центр этой окружности является образом центра описанной окружности при указанной гомотетии, поэтому он лежит на прямой Эйлера, проходящей через ортоцентр $$H$$ и центр описанной окружности.
Следовательно, основания высот, середины сторон и середины отрезков высот, заключённых между вершинами треугольника и его ортоцентром, принадлежат одной окружности — окружности девяти точек.
Ответ
Все указанные точки лежат на одной окружности; её центр лежит на прямой Эйлера, а радиус равен $$\frac{R}{2}$$, где $$R$$ — радиус описанной окружности треугольника.
