Упр.1431 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Пользуясь результатом задачи 909, применяя гомотетию, докажите, что для неравностороннего треугольника основания высот, середины сторон и середины отрезков высот, заключённых между вершинами треугольника и его ортоцентром, принадлежат одной окружности (окружности девяти точек). Центр этой окружности лежит на прямой Эйлера, а радиус равен половине радиуса описанной окружности данного треугольника.

Воспользуемся результатом задачи 909. При гомотетии с центром в точке $$H$$ и коэффициентом $$k=\frac12$$ точки $$A_1, B_1, C_1$$ переходят в основания высот треугольника $$ABC$$, точки $$A_2, B_2, C_2$$ — в середины его сторон, а точки $$A, B, C$$ — в середины отрезков $$AH, BH, CH$$.

Значит, образы указанных точек лежат на одной окружности. Эта окружность называется окружностью девяти точек.

Так как при гомотетии радиус уменьшается в $$2$$ раза, то радиус окружности девяти точек равен

$$r=\frac{R}{2},$$

где $$R$$ — радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$.

Центр этой окружности лежит на прямой Эйлера, проходящей через ортоцентр $$H$$ и центр описанной окружности треугольника.

Ответ: основания высот, середины сторон и середины отрезков $$AH, BH, CH$$ лежат на одной окружности; её центр находится на прямой Эйлера, а радиус равен $$\frac{R}{2}$$.