Упр.1430 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Отрезок \(BD\) — биссектриса треугольника \(ABC\). Докажите, что $$BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot DC$$.
Рассмотрим окружность, описанную около треугольника $$ABC$$, и пусть прямая $$BD$$ пересекает её в точке $$E$$. Тогда точки $$A, B, C, E$$ лежат на одной окружности, а точки $$A, D, C$$ коллинеарны.
Из свойства вписанных углов получаем:
$$\angle BCA=\frac12\overset{\frown}{BA}, \qquad \angle BEA=\frac12\overset{\frown}{BA}.$$
Следовательно, $$\angle BCA=\angle BEA$$. Кроме того, так как $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, то
$$\angle ABD=\angle CBD=\frac12\angle B.$$
Значит, треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$ подобны по двум углам. Отсюда
$$\frac{BC}{BE}=\frac{BD}{AB}.$$
Обозначим этот общий коэффициент подобия через $$k$$. Тогда
$$BD=\frac{BC\cdot AB}{BE}.$$
С другой стороны, из теоремы о степени точки для хорд $$AC$$ и $$BE$$ имеем:
$$AD\cdot DC=BD\cdot DE.$$
Так как $$E, D, B$$ лежат на одной прямой и $$D$$ находится между $$B$$ и $$E$$, то
$$DE=BE-BD.$$
Тогда
$$AD\cdot DC=BD(BE-BD)=BD\cdot BE-BD^2.$$
Из формулы подобия $$BD\cdot BE=AB\cdot BC$$, поэтому
$$AD\cdot DC=AB\cdot BC-BD^2.$$
Переносим слагаемые:
$$BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot DC.$$
Ответ
$$BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot DC.$$
