Упр.1428 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В угол вписаны две окружности, одна из которых касается сторон угла в точках М и N, а другая — в точках Р и Q. Докажите, что эти окружности на прямой MQ отсекают равные хорды.

1) Так как из одной точки к окружности проведены касательные, то их отрезки равны:

$$OM=ON,\qquad OP=OQ.$$

Кроме того, для касательной и секущей имеем:

$$MP^2=MF\cdot MQ,$$

$$QN^2=QE\cdot QM.$$

Так как точки $$E$$ и $$F$$ лежат на отрезке $$MQ$$, то

$$MF=ME+EF,\qquad QE=QF+EF.$$

Подставим это в равенства:

$$MP^2=(ME+EF)\cdot MQ,$$

$$QN^2=(QF+EF)\cdot QM.$$

Но $$MP=QN$$ как равные отрезки касательных, проведённых из точек $$M$$ и $$Q$$ к соответствующим окружностям. Значит,

$$ME+EF=QF+EF,$$

откуда

$$ME=QF.$$

Что и требовалось доказать.