Упр.1425 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Даны отрезки $$a$$, $$m$$, $$n$$ ($$m

Пусть на отрезке $$EF$$ как на диаметре построена полуокружность, а точка $$B$$ лежит на ней так, что $$BF=m$$. Тогда по теореме Фалеса треугольник $$BEF$$ прямоугольный, причём $$\angle BFE=90^\circ$$.

Из построения имеем $$BF=m$$ и $$EF=n$$. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $$BEF$$

$$BE=\sqrt{EF^2-BF^2}=\sqrt{n^2-m^2}.$$

Теперь на прямой $$BE$$ откладываем $$BA=a$$ так, чтобы точка $$E$$ лежала между $$B$$ и $$A$$. Через точку $$A$$ проводим прямую, параллельную $$EF$$, и обозначаем через $$C$$ её пересечение с лучом $$BF$$.

Так как $$AC \parallel EF$$, то треугольники $$BAC$$ и $$BEF$$ подобны. Поэтому

$$\frac{BC}{BF}=\frac{BA}{BE}.$$

Подставляя известные величины, получаем

$$BC=BF\cdot \frac{BA}{BE}=m\cdot \frac{a}{\sqrt{n^2-m^2}}.$$

Остаётся построить точку $$D$$ так, чтобы $$AD \perp AB$$ и $$AD=BC$$. Тогда четырёхугольник $$ABCD$$ имеет противоположные стороны попарно параллельны: $$AB \parallel CD$$ и $$BC \parallel AD$$, а значит, это прямоугольник.

Следовательно, искомый прямоугольник построен.