Упр.1424 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1) Построим биссектрису угла O и перпендикуляр к ней;
2) На пересечении с лучами OA и OB отметим точки E и F;
3) На отрезке EF построим квадрат EFGH со стороной EF;
4) Искомый квадрат гомотетичен EFGH относительно O.

Пусть нужно вписать квадрат так, чтобы две его смежные вершины лежали на дуге $$AB$$, а две другие — на радиусах $$OA$$ и $$OB$$.

Проведём биссектрису угла $$AOB$$ и перпендикуляр к ней. Обозначим точки пересечения этого перпендикуляра с лучами $$OA$$ и $$OB$$ через $$E$$ и $$F$$.

Так как точки $$E$$ и $$F$$ расположены симметрично относительно биссектрисы угла $$AOB$$, то $$OE=OF$$. Следовательно, четырёхугольник, построенный на отрезке $$EF$$ как на стороне, можно взять в виде квадрата $$EFGH$$.

Теперь рассмотрим гомотетию с центром в точке $$O$$. При этой гомотетии квадрат $$EFGH$$ переходит в искомый квадрат: его две вершины попадут на лучи $$OA$$ и $$OB$$, а две другие — на дугу $$AB$$ сектора.

Значит, искомый квадрат строится так: сначала находят точки $$E$$ и $$F$$, затем строят квадрат $$EFGH$$, после чего получают нужный квадрат гомотетией относительно точки $$O$$.