Упр.1420 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Постройте треугольник по трём медианам.

Обозначим данные медианы треугольника через $$a,\; b,\; c.$$ Пусть нужно построить треугольник $$\triangle ABC$$, для которого эти отрезки являются медианами.

Из свойства медиан известно, что они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Поэтому сначала построим вспомогательный треугольник, в котором можно восстановить положение вершины по данным медианам.

1) Разделим отрезки $$a,\; b,\; c$$ на три равные части.

2) Построим треугольник $$AOC’$$ так, чтобы

$$AO=\frac{2}{3}a,\qquad OC’=\frac{2}{3}c,\qquad AC’=\frac{2}{3}b.$$

3) Через точку $$C’$$ проведём прямую, параллельную $$AO$$, а через точку $$O$$ — прямую, параллельную $$C’A$$. Точку их пересечения обозначим через $$B$$.

4) Отметим точку $$C_1$$ — середину отрезка $$AB$$.

5) На продолжении луча $$C_1O$$ отложим отрезок $$C_1C=c.$$

Тогда точка $$C$$ найдена. Аналогично, используя построенные точки и свойства медиан, получаем вершины $$A$$ и $$B$$ искомого треугольника. Построенный треугольник $$ABC$$ имеет медианы, равные данным отрезкам $$a,\; b,\; c.$$

Ответ

Треугольник построен по трём медианам с использованием деления медиан в отношении $$2:1$$ и параллельных прямых.