Упр.1419 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны две пересекающиеся окружности. Постройте отрезок, концы которого лежат соответственно на данных окружностях, а его середина совпадает с одной из точек пересечения данных окружностей.
Пусть $$M$$ — одна из точек пересечения данных окружностей.
Построим окружность $$\omega_1$$, симметричную первой окружности относительно точки $$M$$. Тогда точка $$M$$ останется на месте, а центр $$O_1$$ перейдёт в точку $$O_1’$$ так, что $$M$$ — середина отрезка $$O_1O_1’$$.
Так как вторая окружность при этом не меняется, то точка пересечения окружностей $$\omega_1$$ и второй окружности $$\omega_2$$, отличная от $$M$$, обозначим её $$A$$.
Проведём прямую $$AM$$. Она пересечёт первую окружность ещё в точке $$B$$, отличной от $$M$$.
Докажем, что $$M$$ — середина отрезка $$AB$$. Действительно, точки $$A$$ и $$B$$ лежат на одной прямой с $$M$$, а из построения окружности $$\omega_1$$ следует, что точки $$B$$ и $$A$$ симметричны относительно $$M$$. Значит, $$MA=MB$$.
Следовательно, искомый отрезок — $$AB$$.
Ответ: построить окружность, симметричную одной из данных относительно точки пересечения $$M$$, затем соединить точку пересечения этой окружности с другой данной окружностью с точкой $$M$$; полученный отрезок $$AB$$ искомый.
